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第一章 函数与极限习题

第一章 函数与极限

【内容提要】

1. 函数的定义与性质

(1)常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量;而变量则是在某变化过程中变化的量。

(2)函数的概念 设有两个变量x和y,D为一非空数集,如果对于D内每一个数x,变量y按一定的法则f总有唯一确定的值与之对应,则称y是x的函数。记作y=f(x)。数集D称为函数的定义域。

(3)函数的表示法 解析法、列表法、图象法。 (4)函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。

2. 函数的极限

(1)自变量趋于无穷大时函数的极限

对于给定的任意小的正数ε,总存在一个正数X,当|x|>X时,不等式|f(x) A| (A是一个确定的常数)恒成立,则称常数A为函数f(x)当x 时的极限,记作

limf(x) A或f(x) A(x )。

x

(2)自变量趋于有限值时函数的极限

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果对于任意给定的无论多么小的正数ε,总存在一个正数δ,当0 |x x0| 时,不等式|f(x) A| (A是一个确定的常数)恒成立,则称常数A为函数f(x)当x x0时的极限,记作

limfx( )或A

x

f x() A0x(。 x)

(3)极限存在定理

函数f(x)在点x0极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等,即

limf(x) A limf(x) limf(x) A

x

x x0x x0

(4)函数极限的性质

定理1(唯一性)若limf(x)(或limf(x))存在,则它的极限是唯一的。

x

x x0

定理2(局部有界性)若limf(x)存在,则在点x0的某一邻域内函数f(x)有界。

x x0

定理3(局部保号性)若limf(x)=A,且A>0(或A<0),则存在点x0的某一去心邻

x x0

域,使得在该邻域内的任意x都有f(x)>0(或f(x)<0)。

推论1 若limf(x)=A,且在点x0的某一去心邻域内恒有f(x) 0(或f(x) 0),

x x0

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